Arbeitsblätter zur Mathematik

Bruchrechnung

(alle Übungen mit Lösungen)

Kürzen, erweitern und vergleichen von Brüchen

Übungen:

Erklärungen und Beispiele:

Kürzen: Kürzen einer Bruchzahl heißt, wir teilen Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl.

Beispiel:

Beispiel für Kürzen eines Bruches

Die Kürzungszahl in diesem Beispiel ist die Zahl 9. Durch das Kürzen ändert sich der Wert des Bruches nicht. Allerdings kann ein Bruch durch das Kürzen unter Umständen stark vereinfacht werden, was nachfolgende Berechnungen mit dieser Bruchzahl wesentlich erleichtern kann. Um Kürzungszahlen zu finden, kann man Zähler und Nenner in ihre Primfaktoren zerlegen. Alle Primfaktoren, die im Zähler und im Nenner vorkommen, können gekürzt werden.

Beispiel:

Beispiel einer Primfaktorzerlegung

Um die Primfaktoren von Zähler und Nenner zu bestimmen, können die Teilbarkeitsregeln angewandt werden.

Erweitern: Eine Bruchzahl wird erweitert, indem Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert werden.

Beispiel:

Beispiel für Erweitern eines Bruches

In diesem Fall ist die Zahl 9 die Erweiterungszahl. Zähler und Nenner werden mit der Zahl 9 multipliziert. Durch das Erweitern ändert sich der Wert des Bruches nicht, was folgende Beispiele zeigen:

Beispiel für Erweitern eines Bruches

Erweitern ist die Umkehrung des Kürzens. Die Erweiterung von Brüchen wird häufig bei der Addition und Subtraktion von Brüchen benötigt. Es ist aber auch sehr hilfreich beim Vergleichen von Bruchzahlen.

Vergleichen: Bruchzahlen zu vergleichen, d.h. zu entscheiden welche Bruchzahl größer ist, ist oft schwierig, wenn sowohl Zähler als auch Nenner der beiden Bruchzahlen ungleich sind. Um Bruchzahlen vergleichen zu können, werden sie deshalb so erweitert, dass Zähler oder Nenner gleich sind.

Beispiel:

Gegeben seien die Bruchzahlen:

zwei Bruchzahlen

Durch Erweitern der ersten Bruchzahl mit der Zahl 9 und der zweiten Bruchzahl mit 7 erhält man:

Bruchzahlen erweitert zu gleichem Nenner

Da die Nenner nun den gleichen Wert haben, müssen nur noch die Zähler miteinander verglichen werden. Aus 36 > 35 folgt dann:

Vergleich von Bruchzahlen mit gleichem Nenner

In dem Beispiel wurden die Brüche so erweitert, dass die Nenner den gleichen Wert haben. Eine andere Möglichkeit ist es, die Brüche so zu erweitern, dass die Zähler den gleichen Wert haben. Dazu wird im Beispiel der erste Bruch mit der Zahl 5 und der zweite Bruch mit der Zahl 4 erweitert:

Bruchzahlen erweitert zu gleichem Zähler

Hier muss man nun beachten, dass bei gleichem Zähler der Bruch mit dem größeren Nenner die kleinere Bruchzahl ist, also:

Vergleich von Bruchzahlen mit gleichem Zähler

Addition und Subtraktion:

Übungen:

Erklärungen und Beispiele:

Addition: Wir addieren zwei Bruchzahlen, indem wir die Bruchzahlen zunächst gleichnamig machen, d.h. so erweitern, dass sie den gleichen Nenner haben, und dann die Zähler addieren.

Beispiel:

Beispiel für das Addieren von Brüchen

In diesem Beispiel ist die Erweiterungszahl für den ersten Bruch die Zahl 3 und für den zweiten Bruch die Zahl 5. Im letzten Schritt wird der unechte Bruch noch in eine gemischte Zahl verwandelt.

Subtraktion: Wir subtrahieren zwei Bruchzahlen, indem wir die Brüche zunächst gleichnamig machen, d.h. so erweitern, dass sie den gleichen Nenner haben, und dann die Zähler subtrahieren.

Beispiel:

Beispiel für das Subtrahieren von Brüchen

In diesem Beispiel muss nur der zweite Bruch erweitert werden. Die Erweiterungszahl ist die 2. Zum Schluss wird das Ergebnis noch gekürzt. Kürzungszahl ist dabei die 3.

Multiplikation:

Übungen:

Erklärungen und Beispiele:

Multiplikation: Zwei Bruchzahlen werden multipliziert, indem der Zähler der ersten Bruchzahl mit dem Zähler der zweiten Bruchzahl multipliziert wird und der Nenner der ersten Bruchzahl mit dem Nenner der zweiten Bruchzahl multipliziert wird.

Beispiel:

Beispiel für das Multiplizieren von Brüchen

In diesem Beispiel wurden die Zähler und die Nenner der beiden Brüche jeweils miteinander multipliziert und das Ergebnis wurde durch die Zahl 2 gekürzt.

Division:

Übungen:

Erklärungen und Beispiele:

Division: Die Division durch eine Bruchzahl wird auf die Multiplikation mit Brüchen zurückgeführt. Es gilt: eine Zahl wird durch einen Bruch geteilt, indem sie mit dem Kehrwert des Bruchs multipliziert wird.

Beispiel:

Beispiel für die Division einer Zahl durch einen Brüch

Ein Bruch wird durch einen zweiten Bruch geteilt, indem er mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert wird.

Beispiel:

Beispiel für die Division eines Bruchs durch einen Brüch

Vermischte Übungen:

Übungen:

Kontakt